Pi'de Kendi Yerine Yerleşen Dizeler

Pi'ye karşı özel bir ilgim olmasa da Numberphile'da izlediğim bir videodan sonra izlediklerimi pekiştirmek için kısa bir araştırma yaptım. Pek kimsenin ilgisini çekmeyeceğini biliyorum ama en azından aradan belli bir zaman geçtikten sonra hatırlamamı kolaylaştırsın diye bu araştırmadaki notlarımı buraya koyuyorum.

İlk önce matematikle pek sıkı fıkı olmayanlar için Wikipedia'daki Pi sayısı maddesinden Pi'nin tanımını hatırlayalım:
Pi sayısı (π), bir dairenin çevresinin çapına bölümüyle elde edilen irrasyonel bir matematik sabitidir. İsmini, Yunanca çevre anlamına gelen περίμετρον sözcüğünün ilk harfi olan π'den alır. Pi sayısı, Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir.
Şimdi yazının ortaya çıkmasını sağlayan ve yazının devamını okumanız konusunda sizi teşvik edecek videoyu izleyelim, eğer daha önce izlemediysek:



Videoda Pi'den 3 ve virgülü çıkardıktan sonra kalan parçasında acaba hangi dizelerin (karakter katarlarının) kendi değerine karşılık gelen konumlarda bulunduğu araştırılıyor. Bu kurala uyan ilk dizenin (sayının) 1 olduğu kolayca görülebilir ama bu sizi umutlandırmasın, çünkü sonraki örnekleri o kadar da çabuk göremeyeceğiz. Pi'nin ilk 100 milyon basamağı içinde değerine karşılık gelen konumda bulunan sonlu sayı dizeleri şunlardır:

1, 16470, 44899, 79873884

Şimdi daha matematiksel bir tanım yapmaya çalışalım ve şöyle diyelim: n dizesi, Pi'nin ondalık basamaklarında n konumuna denk geliyorsa bu dizeye Pi içinde kendi değerine karşılık gelen yere yerleşen dize denir. Bu özelliği taşıyan dizelerden bazıları şu şekildedir:

1, 16470, 44899, 79873884, 711939213, 36541622473, 45677255610, 62644957128, 656430109694

Sonsuza gittiği için ne desek yalan olur ama Pi'nin çok olmasa da birkaç kendi değerine karşılık gelen konumda bulunan dize içerdiği bilinmektedir. Elbette konumunda bulunma mevhumu, konumu nasıl saydığınıza da bağlıdır. Ondalık noktadan sonraki ilk basamağı Pi araştırmacılarının yaptığı gibi birinci basamak olarak alırsanız Pi'nin ilk 100 milyon basamağında kendi değerine karşılık gelen konumda bulunan aşağıdaki sayıları elde edebilirsiniz:

1, 16470, 44899, 79873884

Öte yandan, bir bilgisayar tiryakisi gibi davranır ve sıfır tabanlı indeksleme kullanırsanız, kendi değerine karşılık gelen konumda bulunan şu sayıları elde edebilirsiniz:

6, 27, 13598, 43611, 24643510

Videoyu izlediyseniz yazılanlar kafanızda kolayca canlanmıştır ama yazıyı videodan bağımsız bir şekilde de anlaşılabilir kılmak için Pi'nin virgülden sonraki ilk 100 dizesini elimizin altında bulunduralım:

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 ...

Gördüğünüz gibi eğer Pi'yi bir tabanlı indekslemeye göre incelersek 1, birinci konumda bulunduğu için ilk örnek olarak alınır. Sıfır tabanlı indekslemeye göre incelersek de:
  • sıfırıncı konumda 1 bulunur ve olmaz,
  • birinci konumda 4 bulunur ve olmaz,
  • ikinci konumda 1 bulunur ve olmaz,
  • üçüncü konumda 5 bulunur ve olmaz,
  • dördüncü konumda 9 bulunur ve olmaz,
  • beşinci konumda 2 bulunur ve olmaz,
  • altıncı konumdaysa 6 bulunur ve olur.
Pi araştırmacıları elbette işi burada bırakmamış ve Pi'deki ilginç bir döngüyü de ortaya çıkarmışlardır. Örneğin 169 için arama yaparsanız bu sayının ilk olarak 40. konumda olduğu görülür. Daha sonra Pi'nin ondalık kısmının en başından itibaren 40'ı ararsanız, bu sayı 70. konumda görülür. Bu aramalar sürdürülürse şu dizi elde edilir:

40, 70, 96, 180, 3664, 24717, 15492, 84198, 65489, 3725, 16974, 41702, 3788, 5757, 1958, 14609, 62892, 44745, 9385, 169, 40...

Şimdi de herhangi bir ilk arama dizesi için bir döngü oluşma olasılığının ne olduğu merak edilebilir. Ya da Pi'nin sonsuz genişlemesi içinde, tüm aramaların mutlaka bir döngüye girip girmeyeceği de merak uyandırabilir.

Pi araştırmacıları kendi değerine karşılık gelen konumda bulunan dizeler nedeniyle tüm ilk sayıların döngü oluşturmayacığını tespit etmiştir. Örneğin 211 ilk sayı olarak alınırsa 211, 93, 14, 1 yolu izlenir ve kendi değerine karşılık gelen konumda bulunan 1 üzerinde sonsuz döngü oluştuğu için asla 211'e erişilemez tekrar.

Kaynaklar

Yorumlar

Bu blogdaki popüler yayınlar

Diğer Dillerde Hoşçakal

Mızıka Tabları Nasıl Okunur

conio.h